Research（研究紹介）

我々の研究室では非線形現象や生命現象に対する数理モデリングや逆問題としての定式化，およびその数理解析に取り組んでいます．また，日立北大ラボを始めとする企業との共同研究も積極的に進めており，数理科学と社会の連携を推進しています．
非線形科学との協働研究：自己駆動系の数理科学
自己あるいは場の環境を変化させて運動する系を自己駆動系と言いますが，我々は自己駆動系に現れる運動を理論的に理解するために，実験グループと共同で数理モデルを構築し，数理モデルに対する数理解析を行っています．そこでは数値計算を積極的に利用し，数値分岐計算等を取り入れた計算機援用解析を行っています．これまでに表面張力変化を利用して運動する樟脳運動モデルの構築とその数理解析[N1]や複数の樟脳粒子の相互作用運動の数理解析[N2]，反応拡散場での界面活性粒子の振動運動等の数理解析[N3]を行ってきました．最近では，反応拡散場ので複数液滴の相互作用モデリングや液滴運動を記述するフェーズフィールドモデルの構築等の研究を行っています．
皮膚科学との協働研究：表皮構造の数理モデリング
工事中
偏微分方程式の数値解析
現在では様々な現象が偏微分方程式の形で数理モデル化され, 典型的な問題に対しては既存のアルゴリズム, ライブラリやソフトウェアを用いることでコンピュータシミュレーションを実行できます. 一方で, そうしたことができない問題に対しどのように数値計算を行うか提案し, それがどの程度『良い』ものであるか示すことも, 数理モデル自体を提案することと並ぶ応用数学の重要な役割の一つです. 元の方程式や離散化により得られる近似問題に対する数学的解析に基づき, 新たな数値計算手法を導出したり安定性や誤差を不等式により評価する, といった研究を行っています. 例えば全変動流が勾配流として記述されることに着目し, 差分離散化により得られる最小化問題を解くことで数値計算を行う手法を提案しています [U1]. また, 様々な偏微分方程式に対する離散化手法そのものに興味を持ち, 差分法や有限要素法, 不連続ガレルキン法や Isogeometric Analysis の数学的性質を研究しています.
偏微分方程式の逆問題とその応用
数多くの現象が偏微分方程式で定式化されますが，関心のある要素が観測できるとは限らず，それらを方程式の解の欠落データから同定する逆問題を研究してます．逆問題は通常，解の存在性・一意性・安定性のいずれかが破綻する非適切な問題であるため，方程式を解くという順問題より遥かに難しいです．よって，順問題の性質に基づき，特殊な解析手法によって条件付き適切性を証明したり，正
則化を代表とする数値再構成法を開発するなど，細心な注意を払いながら研究を進めています．特に近年は基本の楕円・放物・双曲型方程式のほか，非局所モデルの一種である0.5回微分を持つような非整数階発展方程式の逆問題に興味を持っています[R1]．

 

参考文献
[N1] 長山雅晴, 樟脳運動の数理モデル, 数理科学, 12–17，2008年1月号, 長山雅晴，樟脳船の数理モデル，数学セミナー，8–12，2015年2月号, M. Nagayama, S. Nakata, Y. Doi and Y. Hayashima, A theoretical and experimental study on the unidirectional motion of a camphor disk, Physica D, 194(2004) 151-165.
[N2] K. Nishi, T. Ueda, M. Yoshii, Y. S. Ikura, H. Nishimori, S. Nakata and M. Nagayama, Bifurcation phenomena of two self-propelled camphor disks on an annular field depending on system length, Phys.Rev.E 92(2015), M. Okamoto, T. Gotoda and  M. Nagayama,　Existence and non‑existence of asymmetrically rotating solutions to a mathematical model of self‑propelled motion, Japan J. Indust. Appl. Math. (2020).
[N3] M.Nagayama, Y.Doi and S.Nakata, “リン酸緩衝液上での樟脳酸運動の数理モデル”，京都大学数理解析研究所講究録，1313 (2003) 159-166, Y. Satoh, Y. Sogabe. K. Kayahara, S. Tanaka, M. Nagayama and S. Nakata, Self-inverted reciprocation of an oil droplet on a surfactant solution, Soft Matter 13, 3422-3430(2017).
[N4] Yasuaki Kobayashi, Hiroyuki Kitahata and Masaharu Nagayama, Sustained dynamics of a weakly excitable system with nonlocal interactions, Physical Review E 96, 022213 (2017)
[U1] Y. Giga and Y. Ueda, Numerical computations of split Bregman method for fourth order total variation flow, Journal of Computational Physics, Vol. 405 (2020)
[R1] Y. Liu, Z. Li and M. Yamamoto, Inverse problems of determiningsources of the fractional partial differential equations, in: Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 2: Fractional Differential Equations, De Gruyter, Berlin, 2019, 411-430.